در صورت یکسان بودن زوایای مثلث های قائم الزاویه، بعضی نسبت ها همواره برابرند….
مقدمات مثلثات
یکی از دلایل پیدایش مثلثات علاقه دانشمندان به علم ستاره شناسی بوده هست. در این مطالعات،دانشمندان متوجه یک شاخصه خیلی جالب در مثلث قائم الزاویه شدند. و آن این بود که صرف نظر از اندازه ضلع مثلث های قائم الزاویه، نسبت بعضی اضلاع به هم در این مثلث ها ثابت است و فقط به اندازه زاویه بستگی دارد.
مقدمات مثلثات
امیدواریم دبیران محترم بتوانند از این طرح درس در بیان و انتقال مفاهیم اولیه مثلثات به دانش آموزان بهره ببرنند.
موضوع
عبارات مهم : زاویه – دایره
مثلثات
اهداف کلی
۱- بیان نسبت های مثلثاتی در مثلث قائم الزاویه
۲-آشنایی با دایره مثلثاتی
۳- تبدیل درجه و رادیان به یکدیگر
۴- محاسبه نبت های مثلثاتی در ربع های متفاوت دایره مثلثاتی
در صورت یکسان بودن زوایای مثلث های قائم الزاویه، بعضی نسبت ها همواره برابرند….
اهداف آینده نگری شده
پیش بینی می شود دانش آموزان بتوانند:
۱-نسبت های مثلثاتی در یک مثلث قائم الزاویه را محاسبه کنند
۲-به طور کامل به دایره مثلثاتی مسلط باشند
۳- به آسانی بتوانند درجه را به رادیان و برعکس تبدیل کنند.
۴- بتوانند نسبت مثلثاتی یک زاویه بزرگ را به نسبت های مثلثاتی زاویه حاده تبدیل کنند
نکات آموزشی و تدریس
در ادامه توضیحات مورد نیاز راجع به درس مثلثات ارائه شده است است ولی جا دارد توصیه ای مطرح شود.گاهی مورد نیاز است بعضی زاویه ها را طوری تبدیل کنیم تا بتوانیم از نسبت مثلثاتی زاویه حاده در ربع اول استفاده کنیم به عنوان نمونه جهت محاسبه sin (13π/۶ )
کافی ست مضربی از ۶ را در صورت ایجاد کنیم یعنی صورت را به صورت ۱۲π+π بنویسیم در بخش های بعدی در این مورد زیاد توضیح داده ایم.
ارائه درس
در صورت یکسان بودن زوایای مثلث های قائم الزاویه، بعضی نسبت ها همواره برابرند.
کسینوس
دوشکل زیر را در نظر بگیرید:
در این دو مثلث نسبت ضلع مجاور زاویه ۶۰ درجه به وتر برابر عدد ½ می باشد.
در واقع در هر مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مجاور زاویه ۶۰ درجه به وتر ،یکسان است.به عبارت دیگر شما می توانید هر چندتا مثلث قائم الزاویه رسم کنید که یکی از زوایای آن ۶۰ درجه باشد. سپس ضلع مجاور زاویه ۶۰ درجه و وتر را اندازه بگیرید. نسبت این دو ضلع را هم حساب کنید. خواهید دید که همواره این نسبت ثابت است وبرابر عدد ½ می باشد.
کسینوس زاویه Ɵ در هر مثلث قائم الزاویه برابر است با نسبت ضلع مجاور به زاویه Ɵ به وتر در یک مثلث قائم الزاویه.و آن را با cosƟ نشان می دهند.
مقدمات مثلثات
(*)
سینوس
در مثلث قائم الزاویه بخش قبل، نسبت ضلع برابر زاویه ۶۰ درجه به وتر در هر دو یکسان است.پس وقت آن رسیده تا یکی دیگر ازنسبت های مثلثاتی را تعریف کنیم به نام سینوس یک زاویه که برابر است با ضلع برابر آن زاویه به وتر مثلث.
می توانید هر چندتا مثلث قائم الزاویه رسم کنید که یکی از زوایای آن ۶۰ درجه باشد. سپس ضلع روبروی زاویه ۶۰ درجه و وتر را اندازه بگیرید. نسبت این دو ضلع را هم حساب کنید. خواهید دید که همواره این نسبت ثابت است.
سینوس زاویه Ɵبرابر است با نسبت ضلع برابر به زاویه Ɵ به وتر در یک مثلث قائم الزاویه.سینوس زاویه تتا را با نماد sinƟ نمایش می دهند.در شکل (*) داریم:
sin Ɵ=a/c
تانژانت
تانژانت زاویه Ɵ برابر است با نسبت ضلع برابر به زاویه Ɵ به ضلع مجاور همان زاویه در یک مثلث قائم الزاویه.تانژانت زاویه تتا را با نماد tanƟ نمایش می دهند.
با توجه به دو مثلث متشابه بخش قبل در هر دو مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع برابر به مجاور زاویه ۶۰ درجه، برابر هست. به این نسبت، تانژانت می گویند.
در شکل(*) داریم:
tanƟ=a/b
کتانژانت
کتانژانت زاویه Ɵ برابر است با نسبت ضلع مجاور به زاویه Ɵ به ضلع برابر همان زاویه در یک مثلث قائم الزاویه.و بانماد cotƟ نشان می دهند.در شکل(*) داریم:
cotƟ=b/a
دایره مثلثاتی
دایره مثلثاتی یکی از عالی ترین راه ها جهت درک مفهوم نسبت های مثلثاتی و حفظ کردن روابط بین آنهاست. اگر به دایره مثلثاتی و نکات آن مسلط باشیم، کارمان در حل معادلات مثلثاتی و تبدیل زوایا بسیار راحت خواهد شد.
دایره مثلثاتی، دایره ای به شعاع یک است که مرکز آن بر روی مرکز محورهای مختصات قرار دارد. در این محور مختصات، محور افقی را محور cos و محور عمودی را محور sin در نظر می گیریم.
یک مثلث قائم الزاویه در دایره رسم می کنیم، طوریکه زاویه ۹۰ درجه این مثلث بر روی محور xها و یکی از رئوس آن روی محیط دایره واقع شده است است.
درست مثل شکل زیر:
در صورت یکسان بودن زوایای مثلث های قائم الزاویه، بعضی نسبت ها همواره برابرند….
مقدمات مثلثات
۱) از تعریف مشخص است که هر گاه کسینوس صفر باشد تابع تانژانت تعریف نشده است و هرگاه سینوس صفر باشند، تابع کتانژانت تعریف نشده هست. به عنوان نمونه سینوس در ۰درجه صفر است بعد تابع تانژانت در ۰ درجه تعریف نشده است.
۲) با توجه به دایره مثلثاتی، علامت سینوس همواره با علامت y برابر است و علامت کسینوس همواره با علامت x برابر است و علامت تانژانت و کتانژانت نیز از ضرب علامت سینوس و کسینوس بدست می آید.
۳) مقدار کسینوس و سینوس حداکثر ۱+ و حداقل ۱- می شود. یعنی مقدار خروجی تابع کسینوس و سینوس یا به عبارتی برد آن بازه [۱,۱-] می باشد.
رادیان
رادیان واحدی جهت اندازه گیری زاویه است که متناسب است با کمان روبرو به زاویه. البته شما با مفهوم درجه آشنایی بیشتری دارید و می دانید یک دایره کامل برابر ۳۶۰ درجه، نیم دایره برابر ۱۸۰ درجه و ربع دایره برابر با ۹۰ درجه است.
هم چنین می دانیم فرمول محیط یک دایره برابر است با ۲πr ولی در دایره مثلثاتی محیط ، برابر است با ۲πچون شعاع برابر یک است .یعنی یه دور کامل در دایره معادل ۳۶۰درجه به اندازه ۲πکمان دایره طی شده است است یا برابر ۲π رادیان می باشد.پش نصف دایره که معادل۱۸۰ است برابر πرادیان می باشد.
فرمول تبدیل رادیان و درجه به هم:
نکته:شما می توانید تا هر چقدر به گردش روی محیط دایره ادامه دهید و مقدار رادیان را زیاد(حتی زیاد از۲π) کنید.
در شکل زیر بعضی از زوایای معروف برحسب درجه و رادیان بیان شده است اند.
نسبت های مثلثاتی زوایای معروف
برای راحتی محاسبات مثلثاتی مورد نیاز است بعضی از نسبت های بعضی زوایا حفظ شوند:
مثال: حاصل عبارات زیر را بدست آورید:
روابط مثلثاتی مربوط به Ɵ
با داشتن نسبت های مثلثاتی زاویه در ربع اول می توان بقیه نسبتهای مثلثاتی زیر را در ربع های دیگر بدست آورد:
۱) نسبت های مثلثاتی ( Ɵ-) :
می دانیم اگر در جهت خلاف عقربه های ساعت حرکت کنیم علامت زاویه مثبت، و اگر در جهت عقربه های ساعت حرکت کنیم علامت زاویه منفی می شود. زاویه Ɵ- در ربع چهارم واقع شده است است بعد سینوس آن منفی است و کسینوس مثبت. تانژانت و کتانژانت هم منفی می شوند. پس:
در حالت π-Ɵ در ربع دوم قرار داریم و در π+Ɵ در ربع سوم قرار داریم:
۳) نسبت مثلثاتی۲π-Ɵ:
در این حالت نیز در ربع چهارم قرار داریم و مانند شماره۱ می باشد.
نکته:در نسبت های π)+Ɵزوج) مانند نسبت های Ɵعمل می کنیم .
نکته:در نسبت های π)+Ɵفرد) مانند نسبت های π+Ɵعمل می کنیم . در حالت تفریق هم به طور مشابه است.
۴) در نسبت های مثلثاتی به شکل زیر
جنس نسبت، عوض می شود علاوه بر اینکه ممکن است علامت نیز عوض شود (برای تعیین علامت باید، باید ببینیم زاویه در چه ربعی قرار دارد) .یعنی به عنوان نمونه اگر sin باشد می شود cos و اگر tan باشد می شود cot.
مثال: حاصل را بدست آورید:
تهیه: پروین نظری- مرکز یادگیری سایت تبیان
واژه های کلیدی: زاویه | دایره | تبدیل |
برچسب ها: تبدیل, دایره, زاویه
