اگر در ضابطه ی یك تابع ، متغیر در توان باشد به آن تابع، تابع نمایی می گویند .البته پایه نیز باید عدد ثابت مثبت و مخالف یک باشد….
تابع نمایی و لگاریتمی
اگر در ضابطه ی یك تابع ، متغیر در توان باشد به آن تابع، تابع نمایی می گویند .البته پایه نیز باید عدد ثابت مثبت و مخالف یک باشد.
موضوع
توابع نمایی و لگاریتمی و ارتباط این دو تابع با یکدیگر
اهداف کلی
۱-آشنایی با مفهوم تابع نمایی و شاخصه های این تابع مثل دامنه و برد آن.
۲-آشنایی با رسم توابع نمایی در صورت عوض کردن عدد پایه
۳ -آشنایی با تابع لگاریتم و ارتباط آن با تابع نمایی
۴- بیان دامنه و برد تابع نمایی
اهداف آینده نگری شده
پیش بینی می شود دانش آموزان در آخر این جلسه آموزشی به اهداف زیر دست یابند:
۱- با توابع نمایی و رسم آنها به خوبی آشنا شوند.
۲ – مفهوم معکوس پذیر بودن تابع نمایی را درک کرده و تعریف تابع لگاریتم را بدانن.
۳ – بتوانند انواع تابع لگاریتمی را رسم کرده (به کمک انتقال نیز می توان رسم کرد) و دامنه و برد را تشخیص دهند.
۴ – قواعد لگاریتم را به خوبی بلد باشند.
نکات آموزشی و تدریس
در تدریس و آموزش این مبحث دبیران محترم به دانش آموزان تاکید بفرمایند که حفظ و یادگیری قواعد لگاریتم جهت حل مسایل لگاریتمی بسیار اهمیت دارد. ضمننا در حل معادلات لگاریتمی علاوه بر قواعدجمع و تفریق لگاریتم ها، دو قاعده زیر بسیار پر کاربرد می باشد.
توابع نمایی و لگاریتمی
ارائه درس
فرم کلی تابع نمایی: فرم کلی تابع نمایی به صورت y=ax می باشد. با شرط. a>0 و a≠۱٫
نمودار تابع نمایی به دو صورت زیر می باشد:
۱) در توابع نمایی ، متغیر در توان است و فرم کلی آنها برابر y=abcx + k می باشد.
۲) دامنه توابع نمایی مجموعه ی اعداد حقیقی و برد آن مجموعه ی اعداد مثبت یعنی (۰,+∞) بوده و تابعی یك به یك است . پس معكوس پذیر است.
۳) تابع y=ax باشرایط تعریف شده است همواره مثبت است و نمودار آن بالای محور x هاست.
۴) نمودار ax همواره از نقطه (۰,۱) می گذرد.
۵) اگر a>1 نمودار تابع صعودی و اگر ۰<a<1 نمودار تابع نزولی است .
۶) تابع y=ax محور x ها را قطع نمی کند ولی در بی نهایت خیلی به آن نزدیک می شود .به خط y=0 مجانب افقی این تابع می گویند.
پر کاربرد ترین تابع نمایی در دنیای واقعی، ex است .به e عدد نپر می گویند و مقدار تقریبی آن ۲/۷۱۸ می یاشد.
۷) در تابع نمایی y=ax با توجه به مقدار پایه(a) نمودار تابع به طور متفاوت رسم می شود:
اگر در ضابطه ی یك تابع ، متغیر در توان باشد به آن تابع، تابع نمایی می گویند .البته پایه نیز باید عدد ثابت مثبت و مخالف یک باشد….
مثال: کدامیک از توابع زیر واکنش‌ها تابع نمایی را دارند؟
پاسخ:
در بین توابع الف ، ب و ج فقط تابع( الف ) نمایی است لیکن متغیر در توان است . در بین نمودار ها نیز تابع (و) واکنش‌ها نمایی دارد.
تاریخچه لگاریتم
با توجه به محاسبه های طولانی و ملال آوری كه دانشمندان قرن های شانزدهم و هفدهم میلادی با آن سر و كار داشتند،لگاریتم بوجود آمد. این محاسبه ها وقت و نیروی زیادی را از دانشمندان تلف می كرد و هر لحظه دانشمندان در ذهن داشتند كه چطور می شود بدون انجام چنین محاسبات پیچیده و دشواری و آن هم در كمترین وقت ممكن به جواب مطلوب دست یابند.هرچند که کشف لگاریتم همزمان به وسیله دونفر جان نپر و دیگری بورگی انجام شد . ولی اصطلاح لگاریتم نشات گرفته از فعالیت های نپر هست.
تعریف لگاریتم
در بخش نکات تابع نمایی Y=ax گفتیم دامنه توابع نمایی مجموعه ی اعداد حقیقی و برد آن مجموعه ی اعداد مثبت بوده و تابعی یك به یك است . بعد معكوس پذیر است كه معكوس آن را می توان با یافتن قرینه نقاط روی نمودار تابع نمایی نسبت به خط x= y یافت كه این تابع معكوس را تابع لگاریتمی می نامیم و با نماد x=loga y نشان می دهند.
توابع نمایی و لگاریتمی
به بیان دیگر لگاریتم یك تابع در پایه ی a ) aعددی مثبت و مخالف یک است) برابر با توانی از پایه است كه آن عدد را می دهد، یعنی اگر y=x باشد، میتوان نتیجه گرفت y=log x . مانند شکل زیر
اگر در ضابطه ی یك تابع ، متغیر در توان باشد به آن تابع، تابع نمایی می گویند .البته پایه نیز باید عدد ثابت مثبت و مخالف یک باشد….
در شکل زیر تابع نمایی Y=ax با a>1 را می بینیم . نمودار سمت راست نمودار معکوس این تابع یا همان لگاریتم را نشان می دهد.
نکات
۱) دامنه توابع لگاریتمی به شکل y=log ax برابر برد تابع نمایی y=ax و برد تابع لگاریتمی برابر دامنه تابع نمایی است لیکن این دو تابع معکوس هم هستند . بعد دامنه تابع لگاریتمی مجموعه ی اعداد مثبت و برد آن مجموعه ی اعداد حقیقی است.
۲)نمودار y=loga x از نقطه (۰,۱) می گذرد.
۳) اگر a=e باشد ، لگاریتم را با نماد ln x نمایش داده و به آن لگاریتم طبیعی می گویند.
۴) معمولا در لگاریتم با مبنای ۱۰، مبنا نوشته نمی شود.
۵)تابع لگاریتم مانند تابع نمایی به دو صورت زیر می باشد.
در حل معادلات لگاریتمی باید دقت کنیم .در مرحله آخر جواب ها چک کنیم لیکن باید در شرایط زیر صدق کند:
تهیه: پروین نظری- مرکز یادگیری تبیان
واژه های کلیدی: دانشمندان | نمودار | اعداد | مجموعه | آشنایی |
برچسب ها: آشنایی, اعداد, دانشمندان, مجموعه, نمودار
