اکسترمم های تابع

اکسترمم یک تابع به معنی ماکزیمم یا می نیمم تابع می باشد.

موضوع

اکسترمم های تابع

اهداف کلی

۱-توضیح انواع اکسترمم ها (نسبی و مطلق)
۲-آشنایی با نقاط بحرانی
۲-روش های تشخیص اکسترمم های توابع
۳- کاربرد مشتق در تشخیص اکسترمم ها

اکسترمم های تابع

اهداف آینده نگری شده

پیش بینی می شود دانش آموزان در آخر جلسه به اهداف زیر دست یابند:
۱- بتوانند انواع نقاط اکسترمم ونقاط بحرانی تابع را از روی نمودار تشخیص دهند.
۲- بتوانند نقاط اکسترمم نسبی(موضعی) تابع را به کمک جدول تعیین علامت مشتق بدست آورند.
۳- بتوانند نقاط بحرانی را بیابند
۴-بتوانند نقاط اکسترمم مطلق تابع را بدست آورند.

نکات آموزشی و تدریس

دانش آموزان معمولا با مفهوم اکسترمم های نسبی و مطلق، مسئله دارند .همکاران محترم تلاش کنند ابتدا این مفاهیم را از روی نمودار توضیح دهند و بعد وارد محاسبات ریاضی و استفاده از مشتق و … شوند. دبیران محترم متذکر شوند که جهت محاسبه نقاط اکسترمم نسبی دو راه وجود دارد، راه اول جدول تعیین علامت مشتق و راه دوم آزمون مشتق دوم .
سعی کنید از نرم افزارهای آموزشی ریاضی مثل جئو جبرا استفاده کنید تا انگیزه بیشتری در دانش آموزان حاصل شود .

ارائه درس

اکسترمم توابع: اکسترمم یک تابع به معنی ماکزیمم یا می نیمم تابع می باشد.
در حالت کلی دو نوع اکسترمم داریم،اکسترمم نسبی و مطلق.
اکسترمم (ماکزیمم یا می نیمم)نسبی
ماکزیمم نسبی: تابع f در x=c دارای ماکزیمم نسبی است هرگاه یك همسایگی مشمول بر c(مانند(a,b)) موجود باشد كه جهت هر x∈(a,b) داشته باشیم : . f (x) ≤ f (c) یعنی مقدار تابع در نقطه x=c یعنی (f(c از تمام مقادیر (f(x در نقاط مجاور خود (یعنی در اطراف راست و چپ نقطه c ) بزرگتر است.
مینیمم نسبی: تابع f در x=c دارای مینیمم نسبی است هرگاه یك همسایگی مشمول بر c(مانند(a,b)) موجود باشد كه جهت هرx∈(a,b) داشته باشیم :f(x) ≥ f(c) یعنی مقدار تابع در نقطه x=c یعنی (f(c از تمام مقادیر (f(x در نقاط مجاور خود (یعنی در اطراف راست و چپ نقطه c ) کمتر است.

۱-توضیح انواع اکسترمم ها (نسبی و مطلق) ۲-آشنایی با نقاط بحرانی ۲-روش های تشخیص اکسترمم های توابع ۳- کاربرد مشتق در تشخیص اکسترمم ها

با توجه به شکل فوق، تابع در C₁دارای ماکزیمم نسبی و در C₂ دارای می نیمم نسبی است.(به وجود همسایگی با شرایط ذکر شده است در اطراف این نقاط توجه کنید)

سوال: نقطه می نیمم نسبی نقطه ای ست که نسبت به نقاط مجاور خود …………. دارد. (پاسخ: عرض کمتری)

اکسترمم های تابع

نکته: تابع ثابت در تمام نقاطش هم ماکزیمم نسبی دارد و هم می نیمم نسبی.
نکته: اگر X=C اکسترمم نسبی تابع f باشد و تابع مشتق پذیر باشد، در آن صورت حتما f ′(c)=0 .اما بالعکس آن لزوما برقرار نیست. یعنی ممکن است تابع اکسترمم نسبی داشته باشد ولی مشتق پذیر نباشد. مانند شکل زیر

۱-توضیح انواع اکسترمم ها (نسبی و مطلق) ۲-آشنایی با نقاط بحرانی ۲-روش های تشخیص اکسترمم های توابع ۳- کاربرد مشتق در تشخیص اکسترمم ها

همان طور که مشاهده می کنید تابع در X=1 دارای می نیمم نسبی است ولی در همین نقطه مشتق پذیر نیست.

تشخیص نقاط اکسترمم نسبی

۱) یکی از روش های تشخیص استفاده از مشتق و جدول تعیین علامت آن می باشد.که به آن آزمون مشتق اول می گویند.
در این روش ابتدا باید مشتق را محاسبه کنیم نقطه اکسترمم نسبی نقطه ای است که مشتق در این نقطه یا صفر است یا اصلاً وجود ندارد و علامت مشتق در طرفین آن عوض می شود.

اکسترمم های تابع

مثال:نقاط اکسترمم نسبی تابع زیر را بیابید؟